Чудові точки трикутника

  1. З-точки трикутника, що утворюють фігуру типу « очей дракона »[ правити | правити код ]
  2. З-точки трикутника, що утворюють фігуру типу « Трилисник (вузол) »[ правити | правити код ]
  3. З-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Квітка традесканції» [ правити | правити код ]
  4. Інші з-точки трикутника [ правити | правити код ]
  5. З-прямі [ правити | правити код ]
  6. Зауваження про з-прямих трикутника [ правити | правити код ]
  7. Прямі n [ правити | правити код ]
  8. Нещодавно відкриті точки (центри) трикутника [ правити | правити код ]

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Чудові точки трикутника - точки, розташування яких однозначно визначається трикутником і не залежить від того, в якому порядку беруться боку і вершини трикутника.

Зазвичай вони розташовані всередині трикутника, але і це не обов'язково. Зокрема, точка перетину висот може знаходитися поза трикутником. Інші чудові точки трикутника см. В енциклопедії центрів трикутника .

Чудовими точками трикутника є

  • Точки перетину:

Мінімаксними (екстремальними) точками трикутника називаються точки, в яких досягається мінімум деякої функції, наприклад, суми ступенів відстаней до сторін або вершин трикутника [1] .

Мінімаксними точками трикутника є:

  • Точка перетину трьох медіан , Що має найменшу суму квадратів відстаней до вершин трикутника ( теорема Лейбніца ).
  • Точка перетину трьох медіан трикутника є єдиною точкою трикутника такий, що проведені через неї три чевіани поділяють своїми кінцями боку трикутника на шість відрізків. При цьому твір довжин трьох з цих шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимально [2]
  • точка Торрічеллі (Перша), що має найменшу суму відстаней до вершин трикутника з кутами не більше 120 градусів.
  • точка Лемуана , Що має найменшу суму квадратів відстаней до сторін трикутника.
  • Підстави висот остроугольного трикутника утворюють Ортотреугольник , Що має найменший периметр з усіх трикутників, вписаних в даний трикутник.

З-точками є точки трикутника, що дають будь-які рівні параметри трьох трикутників, які утворюються при з'єднанні з-точки відрізками з трьома вершинами трикутника [3] . В результаті утворюється фігура типу « очей дракона »(Див. Рис.)

З-точки трикутника, що утворюють фігуру типу « очей дракона »[ правити | правити код ]

З-точками трикутника такого типу є:

З-точки трикутника, що утворюють фігуру типу « Трилисник (вузол) »[ правити | правити код ]

З-точками трикутника такого типу є (див. Рис.):

  • центр Шпікера S є точкою перетину прямих AX, BY і CZ, де XBC, YCA і ZAB подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ABC зовні, мають один і той же кут біля основи arctg [tg (A / 2) tg (B / 2) tg (C / 2)] {\ displaystyle \ mathrm {arctg} \, [\ mathrm {tg} \, (A / 2) \ mathrm {tg} \, (B / 2) \ mathrm {tg} \, (C / 2)]} Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії   Чудові точки трикутника - точки, розташування яких однозначно визначається трикутником і не залежить від того, в якому порядку беруться боку і вершини трикутника [4] .
  • Перша точка Наполеона N 1 {\ displaystyle N_ {1}} , Як і центр Шпікера, є точкою перетину прямих AX, BY і CZ, де XBC, YCA і ZAB подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ABC зовні, мають один і той же кут біля основи 30 градусів.

З-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Квітка традесканції» [ правити | правити код ]

З-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Квітка традесканції» (див. Рис.) Наступні:

  • точка перетину медіан утворює трьома малими відрізками чевіан три чотирикутника з рівними площами.
  • точка перетину биссектрис утворює трьома перпендикулярами до трьох сторонам трикутника три чотирикутника - дельтоїда з двома однаковими у всіх суміжними сторонами. Інша пара рівних суміжних сторін в загальному випадку у всіх різна. У всіх трьох дельтоидов є пара рівних протилежних кутів в 90 градусів. Вони - вписати-описані чотирикутники.
  • Три кола, проведені всередині трикутника через точку Мікеля , Перетинають сторони трикутника в трьох точках. Три хорди, проведені через точку Мікеля і три точки перетину трьох кіл з трьома різними сторонами трикутника, утворюють рівні кути з сторонами.

Інші з-точки трикутника [ правити | правити код ]

З-точками трикутника такого типу є:

  • точка Лемуана (Точка рівних антирівнобіжний) - точка володіє властивістю: проведені через неї 3 антирівнобіжний (лінії, антипаралельні 3 сторонам трикутника) дають всередині трикутника 3 відрізка рівної довжини.
  • точка рівних паралелей (Equal Parallelians Point) [5] . У певному сенсі аналогічна точці Лемуана . Точка має властивість: проведені через неї 3 паралелі (лінії, паралельні 3 сторонам трикутника) дають всередині трикутника 3 відрізка рівної довжини.
  • точки Скутіна - точки рівних чевіан трикутника. Теорема Скутіна стверджує, що три відрізка прямих або чевіани , Проведені всередині трикутника через три його вершини і через будь-який фокус описаного еліпса Штейнера , Рівні між собою. Ці фокуси часто називають точками Скутіна.

З-прямі [ правити | правити код ]

З-прямими (з-лініями) трикутника є прямі, які розрізають даний трикутник на два трикутника, що мають будь-які рівні параметри [3] . З-прямими трикутника є:

  • медіана трикутника ділить протилежну сторону навпіл і розрізає трикутник на два трикутника з рівними площами.
  • бісектриса (Біссектор) трикутника ділить навпіл кут, з вершини якого вона виходить.
  • Висота трикутника перетинає протилежну сторону (або її продовження) під прямим кутом (тобто утворює два рівних кута зі стороною по обидва боки від неї) і розрізає трикутник на два трикутника з рівними (прямими) кутами.
  • симедіана - геометричне місце точок всередині трикутника, що виходить з однієї вершини, що дає два рівних відрізка, антипаралельні двом сторонам, пересічних в цій вершині, і обмежених трьома сторонами.
  • Клівер трикутника розбиває периметр навпіл. Клівер трикутника - це відрізок, один кінець якого знаходиться в середині однієї зі сторін трикутника, другий кінець знаходиться на одній з двох, що залишилися сторін. Крім того, клівер паралельний одній з биссектрис кута. Кожен з Клівер проходить через центр мас периметра трикутника ABC, так що все три клівера перетинаються в центрі Шпікера .
  • Також розбиває периметр навпіл відрізок, що з'єднує точку дотику боку трикутника і вневпісанних кіл з вершиною, протилежної даній стороні. Три таких відрізка трикутника, проведені з трьох його вершин, перетинаються в точці Нагеля . Іншими словами, цей відрізок є чевіана точки Нагеля . (Чевіану точки Нагеля в англійській літературі іноді називають сплиттером (splitter) або дільником навпіл периметра. До спліттеру вони відносять і клівер).
  • Еквалайзер (equalizer) або урівнювач (вирівнювач) - відрізок прямої, що розрізає трикутник на дві фігури одночасно рівних площ і периметрів [6]
  • Трохи про еквалайзері (equalizer). Будь-яка пряма (еквалайзер), що проходить через трикутник і ділить площу трикутника і периметр навпіл, проходить через центр вписаного кола. Таких прямих може існувати три, дві або одна. [7]

Зауваження про з-прямих трикутника [ правити | правити код ]

В англійській літературі вводиться поняття бисекции (Bisection), як поділ чого-небудь на дві рівні частини. Наприклад рівнобедреного трикутника на два рівних, відрізка прямої на два рівних, плоского кута на два рівних. Відповідні лінії будуть окремим випадком з-прямих (з-ліній) трикутника.

Прямі n [ правити | правити код ]

Важливим окремим випадком з-прямих є так звані прямі n трикутника. Пряма n трикутника, яка виходить із його вершини, ділить протилежну сторону щодо n х ступенів прилеглих до неї двох сторін [8] . Важливими окремими випадками прямих n є:

Для прямих n трикутника дуже просто знайти в загальному вигляді деякі властивості. Наприклад, для прямої n ізогонально сполученої буде пряма (2-n), а ізотоміческі сполученої буде пряма мінус n.

барицентричні координати центру, записані через сторони (або тригонометричні функції кутів) трикутника, дають можливість перевести багато завдань про центрах трикутника на алгебраїчний мову. Наприклад, з'ясувати, задають чи два визначення один і той же центр або лежать три даних центру на одній прямій.

Можна використовувати і трикутні координати центру, дуже просто пов'язані з барицентрична координатами . Однак, наприклад, ізогонально зв'язані точки в трикутних координатах виражаються простіше.

  • Розглядають пари центрів. наприклад
    • точки Брокара .
    • точки Аполлонія . Для будь-якого невиродженого трикутника АВС можна побудувати окружність Аполлонія до сторони АВ, що проходить через точку С. Окружності, побудовані таким чином до трьох сторонам, будуть перетинатися в двох точках - внутрішньої і зовнішньої Аполлонія відповідно.

Нещодавно відкриті точки (центри) трикутника [ правити | правити код ]

  1. Стариков, В. Н. Дослідження по геометрії // Збірник публікацій наукового журналу Globus за матеріалами V-й міжнародній науково-практичній конференції «Досягнення та проблеми сучасної науки» м.Санкт-Петербург: збірник зі статтями (рівень стандарту, академічний рівень). З-П .: Науковий журнал Globus, 2016. С. 97.
  2. Зетель, С. І. Нова геометрія трикутника. Посібник для вчителів. 2-е видання. М.: Учпедгиз, 1962. завдання на с. 12.
  3. 1 2 Стариков В.Н. Нотатки з геометрії // Науковий пошук: гуманітарні та соціально-економічні нау-ки: збірник наукових праць. Випуск 1 / Гол ред. Романова І .В Чебоксари: ЦДІП «INet», 2014. С. 37, ліва колонка, останній абзац
  4. Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (Англ.) На сайті Wolfram MathWorld .
  5. Equal Parallelians Point
  6. Kodokostas, Dimitrios (2010), " Triangle equalizers ", Mathematics Magazine Т. 83 (2): 141-146, DOI 10.4169 / 002557010X482916.
  7. Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. - 2010. - Вип. 83, April. - С. 141-146. .
  8. Зетель, С. І. Нова геометрія трикутника. Посібник для вчителів. 2-е видання. М.: Учпедгиз, 1962. завдання на с. 120-125. параграфи 109-113.
  9. Yff Center Of Congruence
  10. Gossard Perspector
  11. Mittenpunkt
  12. 1ST AND 2ND AJIMA-MALFATTI POINTS
  13. Apollonius Point
  14. Bailey Point
  15. Hofstadter Points
  16. Congruent Isoscelizers Point
  17. Morley Centers
  18. Parry Point
  19. Isoperimetric Point And Equal Detour Point
  20. Equal Parallelians Point
  21. Schiffler Point
  22. Exeter Point