1. Биссекторной площину. Основна властивість биссекторной площині Визначення 1. биссекторной площиною...
2. Радіус сфери, вписаною в правильний n - вугільну піраміду
3. Сфера, вписана в трикутну піраміду. Формула для радіуса вписаного сфери

Биссекторной площину. Основна властивість биссекторной площині

Визначення 1. биссекторной площиною двогранного кута називають таку площину, яка проходить через ребро двогранного кута і ділить цей кут на два рівних двогранні кута (Рис. 1).

рис.1

Твердження 1. Точка, розташована всередині двогранного кута , Знаходиться на одному і тому ж відстані від граней цього кута тоді і тільки тоді, коли вона лежить на биссекторной площині .

Доведення. Розглянемо довільну точку O, розташовану всередині двогранного кута, і проведемо через цю точку площину δ, перпендикулярну до ребру AB двогранного кута (Рис. 2).

рис.2

Площина δ перетинає ребро AB двогранного кута в точці C, а межі двогранного кута α і β по променям CD і CE відповідно. Кут DCE є лінійним кутом двогранного кута . Биссекторной площину γ перетинає площину δ по бісектрисі CF лінійного кута DCE.

Оскільки площині α і β проходять через перпендикуляр AB до площини δ, то площини α і β перпендикулярні до площини δ. Оскільки площині α і β проходять через перпендикуляр AB до площини δ, то площини α і β перпендикулярні до площини δ. з властивостей прямої, перпендикулярної до площини, властивостей прямої, перпендикулярної до площини, випливає, що і перпендикуляри, опущені з точки O на межі двогранного кута α і β, лежать в площині δ.

Таким чином, справедливість твердження випливає з відповідних теорем про властивості бісектриси кута. Доведено.

Слідство 1. Якщо сфера , Розташована всередині двогранного кута , стосується кожної з площин граней цього кута, то центр сфери знаходиться на биссекторной площині двогранного кута (Рис. 3).

рис.3

Сфера, вписана в піраміду. Властивості піраміди, описаної близько сфери

Визначення 2. Сферою, вписаною в піраміду, називають таку сферу, яка стосується площин всіх граней піраміди , причому точки дотику лежать на гранях піраміди (рис. 4).

рис.4

Визначення 3. Якщо сфера вписана в піраміду, то піраміду називають описаного навколо сфери.

Якщо сфера вписана в піраміду, то вона стосується граней кожного внутрішнього двогранного кута, утвореного сусідніми гранями піраміди. Відповідно до наслідком 1 центр вписаною в піраміду сфери повинен знаходитися в точці перетину биссекторной площин всіх внутрішніх двогранні кутів, утворених сусідніми гранями піраміди.

Якщо у піраміди немає точки, в якій перетинаються биссекторной площині всіх внутрішніх двогранні кутів, утворених сусідніми гранями піраміди, то в таку піраміду можна вписати сферу.

Зауваження 1. Для того, щоб перевірити, чи можна в піраміду вписати сферу, досить перевірити, чи існує точка пересеніем биссекторной площин всіх внутрішніх двогранні кутів при основі піраміди. Якщо така точка існує, то вона буде рівновіддалена як від основи піраміди, так і від кожної з бічних граней.

Розглянемо кілька типів пірамід, в які можна вписати сферу.

Твердження 2. Якщо у піраміди SA 1 A 2 ... An підставу O перпендикуляра, опущеного з вершини S на площину підстави піраміди, лежить всередині багатокутника A 1 A 2 ... An, а все бічні грані піраміди нахилені під одним і тим же кутом до площини підстави піраміди, то в таку піраміду можна вписати сферу.

Доведення. Нехай всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом φ, а висота піраміди дорівнює h. Розглянемо, наприклад, бічну грань SA 1 A 2 і проведемо в ній висоту SB (рис. 5).

рис.5

По теоремі про три перпендикуляри відрізок OB перпендикулярний ребру A 1 A 2. Отже, кут SBO є лінійним кутом двогранного кута між бічною гранню SA 1 A 2 і площиною основи піраміди і дорівнює φ. биссекторной площину цього двогранного кута перетинає висоту піраміди в точці O '(рис. 6).

рис.6

катет OB прямокутного трикутника SOB виражається через висоту піраміди h і кут φ за формулою

OB = h ctg φ.

Катет OO 'прямокутного трикутника OO'B виражається через висоту піраміди h і кут φ за формулою

Оскільки довжина відрізка OO 'не залежить від вибору бічній грані піраміди, то биссекторной площині всіх внутрішніх двогранні кутів при основі піраміди перетинаються в точці O', яка і є центром вписаного в піраміду сфери.

Доведення твердження 2 завершено.

Оскільки у будь-який правильної піраміди все внутрішні двогранні кути при основі рівні, то справедливо

Наслідок 2. У будь-яку правильну піраміду можна вписати сферу, причому її радіус R виражається через висоту піраміди h і внутрішній двогранний кут при основі піраміди φ за формулою

Радіус сфери, вписаною в правильний n - вугільну піраміду

Завдання. Висота правильної n - вугільної піраміди дорівнює h, а довжина ребра підстави дорівнює a. знайти радіус сфери, вписаною в піраміду.

Рішення. Розглянемо правильну n - вугільну піраміду SA 1 A 2 ... An і позначимо символом O 'центр вписаною в піраміду сфери, а буквою O - центр основи піраміди. Проведемо площину через висоту піраміди SO і апофему SB будь-якої бічної грані (рис. 7).

рис.7

Буквою R на малюнку 7 позначений радіус вписаного в піраміду сфери, буквою r - радіус вписаного в основу піраміди кола, а буквою φ - внутрішній двогранний кут при основі піраміди. З прямокутного трикутника OSB отримуємо

В силу слідства 2 з формул (1) і (2) отримуємо

оскільки радіус вписаного в правильний n - кутник кола виражається через сторону цього багатокутника по формулі радіус вписаного в правильний n - кутник кола виражається через сторону цього багатокутника по формулі

з формули (3) отримуємо співвідношення

Відповідь.

Слідство 3. Радіус сфери, вписаною в правильну трикутну піраміду з висотою h і ребром підстави a, дорівнює

Слідство 4. Радіус сфери, вписаною в правильний тетраедр з ребром a, дорівнює

Слідство 5. Радіус сфери, вписаною в правильну чотирикутну піраміду з висотою h і ребром підстави a, дорівнює

Слідство 6. Радіус сфери, вписаною в правильну шестикутну піраміду з висотою h і ребром підстави a, дорівнює

Сфера, вписана в трикутну піраміду.
Формула для радіуса вписаного сфери

Затвердження 3. В будь-яку трикутну піраміду можна вписати сферу.

Доведення. Доказ цього твердження нагадує планіметрична доказ можливості вписати коло в довільний трикутник.

Дійсно, нехай SABC - довільний тетраедр. Биссекторной площину внутрішнього двогранного кута з ребром AC і биссекторной площину внутрішнього двогранного кута з ребром AB перетинаються по деякій прямій, що проходить через вершину A. биссекторной площину внутрішнього двогранного кута в ребром BC перетинає цю пряму в єдиній точці O, яка і є центром вписаного сфери ( рис. 8).

рис.8

Отримаємо формулу, що дозволяє обчислити радіус вписаного в тетраедр SABC сфери. Для цього зауважимо, що обсяг піраміди SABC дорівнює сумі обсягів пірамід OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причому висота кожної з пірамід OABC, OSCA, OSAB, OSCB дорівнює радіусу R вписаною в піраміду SABC сфери. Якщо позначити площі граней тетраедра SABC символами

SABC, SASC, SASB, SBSC,

а обсяги пірамід SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB - символами

VABC, V ASC, V ASB, V BSC,

то справедливі такі рівності:

де символом S повн позначена площа повної поверхні піраміди SABC.

отже,

Зауваження 2. Якщо в піраміду (необов'язково трикутну) можна вписати сферу, то, розмірковуючи аналогічно, можна отримати наступну формулу для радіуса вписаного в піраміду сфери

де символами V бенкет і S повн позначені обсяг і площа повної поверхні піраміди відповідно.

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики .

Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».

Запис по телефону (495) 509-28-10

Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить

У нас також для школярів організовані

МОСКВА, СВАО, Навчальний центр «резольвенту»