1. Піраміда, вписана в сферу. Властивості піраміди, вписаної в сферу Визначення 1. Пірамідою, вписаною...
2. Ставлення обсягів правильної n - вугільної піраміди і кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї...

Піраміда, вписана в сферу. Властивості піраміди, вписаної в сферу

Визначення 1. Пірамідою, вписаною в сферу, називають таку піраміду , Усе вершини якої лежать на сфері (Рис. 1).

Визначення 2. Якщо піраміда вписана в сферу, то сферу називають описаного навколо піраміди.

рис.1

Теорема 1. Близько піраміди можна описати сферу тоді і тільки тоді, коли близько підстави піраміди можна описати коло.

Доведення. Доведемо спочатку, що, якщо піраміда вписана в сферу, то біля її основи можна описати коло. Для цього розглянемо малюнок 2.

рис.2

На малюнку 2 зображено піраміда SA 1 A 2 ... An, вписана в сферу. Площина основи піраміди перетинає сферу по колу, в яку вписаний багатокутник A 1 A 2 ... An - основа піраміди. Доведено.

Тепер припустимо, що близько підстави A 1 A 2 ... An піраміди SA 1 A 2 ... An можна описати коло. Доведемо, що в цьому випадку біля піраміди SA 1 A 2 ... An можна описати сферу. З цією метою позначимо центр кола, описаного навколо багатокутника A 1 A 2 ... An, символом O 'і проведемо пряму p, що проходить через точку O' і перпендикулярну до площини багатокутника A 1 A 2 ... An (рис. 3).

рис.3

Розглянемо площину β, що проходить через середину відрізка SAn і перпендикулярну до цього відрізка . Якщо позначити буквою O точку перетину площини β з прямою p, то точка O і буде центром сфери, описаної близько піраміди SA 1 A 2 ... An. Для того, щоб це довести, розглянемо наступний малюнок 4.

рис.4

Доведемо, що точка O знаходиться на одному і тому ж відстані від точок S, A 1, A 2, ..., An. Оскільки точка O лежить на серединному перпендикуляре до відрізка SAn, то відстані OS і OAn рівні. З іншого боку, відрізки OA 1, OA 2, ..., OAn як гіпотенузи в рівних прямокутних трикутниках OO'A 1, OO'A 2, ..., OO'An. ( Трикутники OO'A 1, OO'A 2, ..., OO'An рівні , Так як у них катет OO 'загальний, а катети O'A 1, O'A 2, ..., O'An рівні як радіуси кола, описаного навколо багатокутника A 1 A 2 ... An).

Отже, ми довели, що точка O знаходиться на одному і тому ж відстані від усіх вершин піраміди SA 1 A 2 ... An. Звідси випливає, що точка O є центром сфери, описаної близько піраміди SA 1 A 2 ... An.

Для завершення доведення теореми залишається лише довести, що площину β і пряма p дійсно перетинаються. Якщо припустити, що це не так, то з такого припущення буде слідувати, що площину β і пряма p паралельні, а, значить, точка S лежить в площині A 1 A 2 ... An, що суперечить визначенню піраміди .

Теорема доведена.

Слідство 1. Близько будь правильної піраміди можна описати сферу.

Наслідок 2. Якщо у піраміди все бічні ребра рівні, то біля неї можна описати сферу.

Вказівка. Підстава перпендикуляру, опущеного з вершини такої піраміди на площину її заснування, є центром описаного навколо підстави окружності. Подивитися доказ .

Радіус сфери, описаної близько правильної n - вугільної піраміди

Завдання 1. Висота правильної n - вугільної піраміди дорівнює h, а довжина ребра підстави дорівнює a. Знайти радіус сфери, описаної близько піраміди.

Рішення. Розглянемо правильну n - вугільну піраміду SA 1 A 2 ... An і позначимо літерою O центр описаного навколо піраміди сфери, а символом O '- центр основи піраміди. Проведемо площину SO'An (рис. 5).

рис.5

Буквою R на малюнку 5 позначений радіус описаного навколо піраміди сфери, а буквою r - радіус описаного навколо основи піраміди окружності. за теоремі Піфагора для трикутника O'OAn отримуємо

R 2 = (h - R) 2 + r 2;

R 2 = h 2 - 2 hR + R 2 + r 2;

2 hR = h 2 + r 2.

отже,

оскільки

з формули (1) отримуємо співвідношення

Відповідь.

Слідство 3. Радіус сфери, описаної близько правильної трикутної піраміди з висотою h і ребром підстави a, дорівнює

Слідство 4. Радіус сфери, описаної близько правильного тетраедра з ребром a, дорівнює

Слідство 5. Радіус сфери, описаної близько правильної чотирикутної піраміди з висотою h і ребром підстави a, дорівнює

Слідство 6. Радіус сфери, описаної близько правильної шестикутної піраміди з висотою h і ребром підстави a, дорівнює

Ставлення обсягів правильної n - вугільної піраміди і кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї піраміди

Завдання 2. Близько правильної n - вугільної піраміди з висотою h і ребром підстави a описана сфера . Знайти відношення об'ємів піраміди і кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї піраміди.

Рішення. Обсяг кулі виражається через його радіус за формулою

Скориставшись формулою (2), висловимо об'єм кулі, обмеженого описаного навколо піраміди сферою, через висоту і ребро підстави піраміди:

Обсяг правильної n - вугільної піраміди знайдемо за формулою Обсяг правильної n - вугільної піраміди знайдемо за формулою :

Таким чином,

Відповідь.

Слідство 7. Відношення обсягу правильної трикутної піраміди з висотою h і ребром підстави a до обсягу кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї піраміди, так само

Слідство 8. Відношення обсягу правильного тетраедр з ребром a до обсягу кулі, обмеженого сферою, описаного навколо даного тетраедра, так само

Слідство 9. Відношення обсягу правильної чотирикутної піраміди з висотою h і ребром підстави a до обсягу кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї призми, так само

Слідство 10. Відношення обсягу правильної шестикутної піраміди з висотою h і ребром підстави a до обсягу кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї призми, так само

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики .

Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».

Запис по телефону (495) 509-28-10

Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить

У нас також для школярів організовані

МОСКВА, СВАО, Навчальний центр «резольвенту»